《陶哲轩实分析》习题 3.2

最后写在最前

似乎说得不怎么清楚。

3.2.1 证明,如果假定万有分类公理即公理 3.8 是真的,它将蕴含公理 3.2~3.6,假定一切自然数都是对象,我们还能得到公理 3.7。

  • 公理 3.2

    定义性质 $P(x)$ 为:“对于每个对象 $x$ 总是假的”,那么存在集合 $\{x: P(x)\text{ 成立}\}$。对于任意对象 $y$,$P(y)$ 总是假的,因此 $y \in \{x: P(x)\text{ 成立}\}$ 也总是假的,根据公理 3.2,$y \in \varnothing$ 总是假的,因此 $y \in \{x: P(x)\text{ 成立}\} \leftrightarrow y \in \varnothing$ 总是真的,根据定义 3.1.4,$\{x: P(x)\text{ 成立}\} = \varnothing$,因此可以通过万有分类公理定义公理 3.2 定义的空集。

  • 公理 3.3

    定义性质 $P(x)$ 为:“性质为真当且仅当 $x = a$”,那么存在一个集合 $\{x: P(x)\text{ 成立}\}$。对于任意 $y \in \{x: P(x)\text{ 成立}\}$,$P(y)$ 成立,即 $y = a$,根据公理 3.3,$y \in \{a\}$;对于任意 $y \in \{a\}$,根据公理 3.3,$y = a$,因此 $P(y)$ 成立,$y \in \{x: P(x)\text{ 成立}\}$。综上,根据定义 3.1.4,$y \in \{x: P(x)\text{ 成立}\} = \{a\}$,因此可以通过万有分类公理定义单元素集。

    定义性质 $P(x)$ 为:“性质为真当且仅当 $x = a$ 或 $x = b$ 其中一个成立”,那么存在一个集合 $\{x: P(x)\text{ 成立}\}$。对于任意 $y \in \{x: P(x)\text{ 成立}\}$,$y = a$ 和 $y = b$ 至少由一个成立,根据公理 3.3,$y \in \{a, b\}$;若 $y \in \{a, b\}$,由公理 3.3 可知,$y = a$ 或 $y = b$,因此 $P(y)$ 成立,即 $y = \in \{x: P(x)\text{ 成立}\}$,因此可以通过万有分类公理定义双元素集。

  • 公理 3.4

    定义性质 $P(x)$ 为:“性质为真当且仅当 $x \in A$ 或 $x \in B$”,那么存在 $\{x: P(x)\text{ 成立}\}$。易证 $\{x: P(x)\text{ 成立}\}$ = $A \cup B$。

  • 公理 3.5

    定义性质 $P(x)$ 为:“$x \in A$ 且 $Q(x)$ 为真”,那么存在 $\{x: P(x)\text{ 成立}\}$。易证 $\{x: P(x)\text{ 成立}\} = \{x \in A: Q(x)\text{ 成立}\}$。

  • 公理 3.6

    定义性质 $P(y)$ 为:“$Q(x, y)$ 对某 $x \in A$ 成立”,那么存在 $\{x: P(x)\text{ 成立}\}$。易证 $\{x: P(x)\text{ 成立}\} = \{y: Q(x, y)\text{ 对某 } x \in A \text{ 成立}\}$。

  • 公理 3.6

    定义性质 $P(x)$ 为:“$x = 0$ 或 $x$ 是某个满足 $P(n)$ 的对象 $n$ 所指定的满足 Peano 公理的对象 $n++$”,那么存在 $\{x: P(x)\text{ 成立}\}$。易证这个集合就是公理 3.7 所描述的集合 $\mathbb{N}$。

3.2.2 使用正则性公理(以及单元素集公理)来证明,如果 $A$ 是集合,那么 $A \notin A$。进而证明,如 $A$ 和 $B$ 是集合,那么或者 $A \notin B$,或者 $B \notin A$(或者两者都成立)。

  • 证明 $A \notin A$。

    反证法。假定 $A \in A$。由公理 3.3,集合 $\{A\}$ 中仅有对象 $A$,根据公理 3.9 可知 $A$ 一定是于 $\{A\}$ 不交的集合,然而由于 $A \in \{A\}$ 和假定 $A \in A$ 可得 $A \in A \cap \{A\}$,即 $A \cap \{A\} \neq \varnothing$,矛盾。

  • 证明 $A \notin B \lor B \notin A$。

    反证法。假定 $A \notin B$ 且 $B \notin A$。由公理 3.3,集合 $\{A, B\}$ 中仅有对象 $A$ 和 $B$,根据公理 3.9 可知 $A$ 和 $B$ 中至少有一个和 $\{A, B\}$ 不交。然而由于假定 $A \notin B$ 和 $A \in \{A, B\}$,可知 $A \cap \{A, B\} \neq \varnothing$,同理也有 $B \cap \{A, B\} \neq \varnothing$,矛盾。

3.2.3 在假定集合论的其他公理的前提下,证明万有分类公理等价于一个假定存在一个由一切对象组成的“万有集合”$\Omega$(即对于一切对象 $x$,都有 $x \in \Omega$)的公理。

  • 证明若万有分类公理是真的,则万有集合存在。

    证明若万有分类公理是真的,可以定义性质 $P(x)$ 为:“对于每个对象 $x$ 总是假的”,那么存在集合 $\{x: P(x)\text{ 成立}\}$,对于一切对象 $x$, $P(x)$ 总是真的,因此一切对象都属于 $\{x: P(x)\text{ 成立}\}$,这个集合就是万有集合。

  • 证明若万有集合存在,则万有分类公理是真的。

    若万有集合 $\Omega$ 存在,由公理 3.5 可知,对于每个对象 $x \in \Omega$,设 $P(x)$ 是关于 $x$ 的性质,存在一个集合 $A$,对于任意对象 $y$ 有 $y \in A \leftrightarrow y \in \Omega \land P(y)$。由于 $y \in \Omega$ 总是真的,因此有 $y \in A \leftrightarrow P(y)$,这正是万有分类公理。