《陶哲轩实分析》习题 3.1

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最后写在最前

之前急着看后面实数的定义，也不明白为什么要讲这些，所以跳过了。实际上这一章和第 2 章一样，给出了集合相关的公理，由此不断推导，必要性和为什么需要从 Peano 公理开始重新认识数一样。现在由于第 7 章需要，重新回来补。

这一节不难，主要是说理比较麻烦。诀窍是不要把 $\{a\}$ 看得理所当然包含 $a$，将其看成一个不认识得符号，像 $A$ 这般，不知道里面有什么，再根据定义来推导。

3.1.1 证明定义 3.1.4 中的相等的定义是自反的、对称的和传递的。

  • 自反的

    集合 $A$ 的每个元素自然是自身的元素，因此根据定义 $A = A$。

  • 对称的

    若 $A = B$，$A$ 的每个元素都属于 $B$，且 $B$ 的每个元素都属于 $A$，这恰好是 $B = A$ 的定义。

  • 传递的

    若 $A = B$，$A$ 的每个元素 $x$ 都是 $B$ 的元素，又从 $B = C$ 可知 $x$ 也是 $C$ 的一个元素，于是 $A$ 的每个元素都是 $C$ 的元素，同理可得 $C$ 的每个元素都是 $A$ 的元素，因此 $A = C$。

3.1.2 仅使用定义 3.1.4、公理 3.2 和公理 3.3，证明集合 $\varnothing$， $\{\varnothing\}$，$\{\{\varnothing\}\}$ 以及 $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$ 全是不同的。

  • $\varnothing \neq \{\varnothing\}$，$\varnothing \neq \{\{\varnothing\}\}$，$\varnothing \neq \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$

    由公理 3.3 可知单元素集 $\{\varnothing\}$ 有元素 $\varnothing$，但由公理 3.2 可知任何对象都不是 $\varnothing$ 的元素，所以 $\{\varnothing\}$ 的元素 $\varnothing$ 不属于 $\varnothing$，由定义 3.1.4 可知 $\varnothing \neq \{\varnothing\}$。

    由公理 3.3 可知单元素集 $\{\{\varnothing\}\}$ 有元素 $\varnothing$，但由公理 3.2 可知任何对象都不是 $\varnothing$ 的元素，所以 $\{\{\varnothing\}\}$ 的元素 $\{\varnothing\}$ 不属于 $\varnothing$，由定义 3.1.4 可知 $\varnothing \neq \{\{\varnothing\}\}$。

    由公理 3.3 可知双元素集 $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$ 有元素 $\varnothing$ 和 $\{\varnothing\}$，但由公理 3.2 可知任何对象都不是 $\varnothing$ 的元素，所以 $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$ 的元素 $\{\varnothing\}$ 不属于 $\varnothing$，由定义 3.1.4 可知 $\varnothing \neq \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$。

  • $\{\varnothing\} \neq \{\{\varnothing\}\}$，$\{\varnothing\} \neq \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$

    由公理 3.3 可知单元素集 $\{\varnothing\}$ 有元素 $\varnothing$，而单元素集 $\{\{\varnothing\}\}$ 有唯一元素 $\{\varnothing\}$，由上面的证明已经知道 $\varnothing \neq \{\varnothing\}$，所以 $\{\varnothing\}$ 的元素 $\varnothing$ 不是 $\{\{\varnothing\}\}$ 的元素，根据定义 3.1.4，$\{\varnothing\} \neq \{\{\varnothing\}\}$。

    由公理 3.3 可知双元素集 $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$ 有元素 $\varnothing$ 和 $\{\varnothing\}$，而单元素集 $\{\varnothing\}$ 有唯一元素 $\varnothing$，由上面的证明已经知道 $\varnothing \neq \{\varnothing\}$，所以 $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$ 的元素 $\{\varnothing\}$ 不是 $\{\varnothing\}$ 的元素，根据定义 3.1.4，$\{\varnothing\} \neq \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$。

  • $\{\{\varnothing\}\} \neq \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$

    由公理 3.3 可知双元素集 $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$ 有元素 $\varnothing$ 和 $\{\varnothing\}$，而单元素集 $\{\{\varnothing\}\}$ 有唯一元素 $\{\varnothing\}$，由上面的证明已经知道 $\varnothing \neq \{\varnothing\}$，所以 $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$ 的元素 $\varnothing$ 不是 $\{\{\varnothing\}\}$ 的元素，根据定义 3.1.4，$\{\{\varnothing\}\} \neq \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$。

3.1.3 证明引理 3.1.13 中剩下未证的那些结论。

  • $\{a,b\}=\{a\}\cup\{b\}$

    由公理 3.3 可知双元素集 $\{a,b\}$ 仅有元素 $a$ 和 $b$，单元素集 $\{a\}$ 仅有元素 $a$，而 $\{b\}$ 仅有元素 $b$。因此 $\{a,b\}$ 的元素 $a$ 是 $\{a\}$ 的元素，由公理 3.4 可知 $\{a\}$ 是 $\{a\}\cup\{b\}$ 的元素，同理，$\{a,b\}$ 的元素 $b$ 是 $\{a\}\cup\{b\}$ 的元素。因此 $\{a,b\}$ 的元素都是 $\{a\}\cup\{b\}$ 的元素。

    由公理 3.4 $\{a\}\cup\{b\}$ 的元素 $x$ 属于 $\{a\}$ 和 $x$ 属于 $\{b\}$ 至少有一个是真的。若 $x \in \{a\}$，由公理 3.3 可知 $x = a$，再次由公理 3.3 可知 $x \in \{a, b\}$；若 $x \in \{b\}$，同理可得 $x = b$ 进而 $x \in \{a, b\}$。因此 $\{a\}\cup\{b\}$ 的元素都属于 $\{a,b\}$。

    综上，由定义 3.1.4 可知 $\{a,b\}=\{a\}\cup\{b\}$。

  • $A \cup B = B \cup A$

    对于 $A \cup B$ 中的任意元素 $x$，由公理 3.4 可知，$x \in A$ 和 $x \in B$ 至少有一个是真的。若 $x \in A$，由公理 3.4 可知 $x \in B \cup A$，若 $x \in B$ 也可由公理 3.4 知 $x \in B \cup A$，因此 $A \cup B$ 中的任意元素都是 $B \cup A$ 的元素。同理可得 $B \cup A$ 中的任意元素都是 $A \cup B$ 的元素，因此 $A \cup B = B \cup A$。

  • $A \cup A = A \cup \varnothing = \varnothing \cup A = A$

    对于任意 $x \in A \cup A$，由公理 3.4 可知 $x \in A$ 和 $x \in A$ 至少一个是真的，即 $x \in A$ 一定是真的，也就是说，$A \cup A$ 的元素都是 $A$ 的元素；对于任意 $x \in A$，自然有 $x \in A$ 和 $x \in A$ 至少一个是真的，因为两个都是真的，所以 $A$ 的元素都是 $A \cup A$ 的元素。综上，由定义 3.1.4 可知 $A \cup A = A$。

    对于任意 $x \in A \cup \varnothing$，由公理 3.4 可知 $x \in A$ 和 $x \in \varnothing$ 至少一个是真的，但由公理 3.2 可知任意对象 $x$ 都不属于 $\varnothing$，所以必然有 $x \in A$，即 $A \cup \varnothing$ 的元素都是 $A$ 的元素；对于任意 $x \in A$，都可以满足 $x \in A$ 和 $x \in \varnothing$ 至少一个是真的，因此 $A$ 的元素都是 $A \cup \varnothing$ 的元素。综上，由定义 3.1.4 可知 $A \cup \varnothing = A$。

    由上个证明已经知道 $A \cup \varnothing = \varnothing \cup A$，而习题 3.1.1 已经证明相等是传递的，所以 $A \cup A = A \cup \varnothing = \varnothing \cup A = A$。

3.1.4 证明命题 3.1.18。

设 $A,B,C$ 是集合。

  • 如果 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，则 $A = B$。

    因为 $A \subseteq B$，由定义 3.1.15，$A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素，同理由 $B \subseteq A$ 可知 $B$ 的每个元素都是 $A$ 的元素，由定义 3.1.4 可知 $A = B$。

  • 若 $A \subsetneq B$ 且 $B \subsetneq C$ 则 $A \subsetneq C$。

    若 $A \subsetneq B$ 且 $B \subsetneq C$，那么有 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq C$，书中已经证明 $A \subseteq C$，只需再用反证法证明 $A \neq C$。假设 $A = C$，那么 $C \subseteq B$，又因为 $B \subseteq C$，所以 $B = C$，这与 $B \subsetneq C$ 矛盾，因此 $A \neq C$。综上可得 $A \subsetneq C$。

3.1.5 设 $A,B$ 是集合。证明三个命题 $A \subseteq B$，$A \cup B = B$，$A \cap B = A$ 在逻辑上是等价的（其中任何一个都蕴含其他两个）。

  • $A \subseteq B \to A \cup B = B$

    由公理 3.4，对于任意 $x$ 属于 $A \cup B$，$x \in A$ 和 $x \in B$ 至少由一个是真的，由于 $A \subseteq B$，根据定义 3.1.15，任何属于 $A$ 的元素都属于 $B$，所以 $x$ 一定属于 $B$；对于任意 $x \in B$，根据公理 3.4，$x \in A \cup B$。综上，由定义 3.1.4，$A \cup B = B$。

  • $A \subseteq B \to A \cap B = A$

    对于任意 $x$ 属于 $A \cap B$，由定义 3.1.23 可知，$x \in A$；由于 $A \subseteq B$，根据定义 3.1.15，$A$ 的元素都是 $B$ 的元素，因此任意 $A$ 的元素 $x$ 都满足 $x \in A$ 和 $x \in B$，由定义 3.1.23，$x \in A \cap B$。综上，由定义 3.1.4，$A \cap B = A$。

  • $A \cup B = B \to A \subseteq B$

    对于任意 $x \in A$，由公理 3.4，$x \in A \cup B$，因为 $A \cup B = B$，由定义 3.1.4 可知 $x \in B$，因此由定义 3.1.15 可知 $A \subseteq B$。

  • $A \cup B = B \to A \cap B = A$

    由定义 3.1.23，对于任意 $x \in A \cap B$ 由 $x \in A$；对于任意 $x \in A$，由公理 2.3，$x \in A \cup B$，因为 $A \cup B = B$，所以 $x \in B$，由定义 3.1.15，$x \in A \cap B$。综上，由定义 3.1.4 可知 $A \cap B = A$。

  • $A \cap B = A \to A \subseteq B$

    对于任意 $x \in A$，由定义3.1.4，$x \in A \cap B$，进而由定义 3.1.23 可知 $x \in B$，再由定义 3.1.15 得到 $A \subseteq B$。

  • $A \cap B = A \to A \cup B = B$

    对于任意 $x \in A \cup B$，由公理 3.4 可知，$x \in A$ 和 $x \in B$ 至少由一个成立，若 $x \in A$，因为 $A = A \cap B$，由定义 3.1.4，$x \in A \cap B$，再由定义 3.1.23 可知 $x \in B$，因此对于任意 $x \in A \cup B$ 都有 $x \in B$；对于任意 $x \in B$，由公理 3.4，必然有 $x \in A \cup B$。综上，由定义 3.1.4，$A \cup B = B$。

3.1.6 证明命题 3.1.28。

设 $A,B,C$ 是集合，并设 $X$ 是包含 $A,B,C$ 为其子集的集合。

  • $A \cup \varnothing = A$，$A \cap \varnothing = \varnothing$

    前半部分已经在习题 3.1.3 中证明，用反证法证明后半部分。若 $A \cap \varnothing \neq \varnothing$，由引理 3.1.6，存在 $x$ 使得 $x \in A \cap \varnothing$，由定义 3.1.23 可知，存在 $x$ 使得 $x \in A$ 和 $x \in \varnothing$ 同时成立，但由公理 3.2，对于每个对象 $x$ 都有 $x \notin \varnothing$，得到矛盾，因此 $A \cap \varnothing = \varnothing$。

  • $A \cup X = X$，$A \cap X = A$

    对于任意 $x \in A \cup X$，由公理 3.4 可知，$x \in A$ 和 $x \in X$ 至少一个是真的，但即使 $x \in A$，由于 $A$ 是 $X$ 的子集，由定义 3.1.15，$x \in X$，因此 $A \cup X$ 的元素都是 $X$ 的元素；对于任意 $x \in X$，由公理 3.4 可知 $x \in A \cup X$。综上，由定义 3.1.4，$A \cup X = X$。

    对于任意 $x \in A \cap X$，由定义 3.1.23，$x \in \A$ 和 $x \in X$ 都是真的，因此 $x \in A \cap X$ 的元素都是 $A$ 的元素；对于任意 $x \in A$，由定义 3.1.15，必有 $x \in X$，因此 $A$ 的元素都是 $A \cap X$ 的元素。综上，由定义 3.1.4，$A \cap X = A$。

  • $A \cup A = A$，$A \cap A = A$

    根据定义 3.1.15 可知 $A \subseteq A$，再由习题 3.1.5 的结论可得 $A \cup A = A$ 且 $A \cap A = A$。

  • $A \cup B = B \cup A$，$A \cap B = B \cap A$

    前半部分已经在习题 3.1.3 中证明。对于任意 $x \in A \cap B$，根据定义 3.1.23，$x \in A$ 且 $x \in B$，再次根据定义 3.1.23 可得 $x \in B \cap A$；同理可得对于任意 $x \in B \cap A$ 都有 $x \in A \cap B$。因此，根据定义 3.1.4 可得 $A \cap B = B \cap A$。

  • $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$，$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

    前半部分书中已给出证明。对于任意 $x \in (A \cap B) \cap C$，由定义 3.1.23，$x \in A \cap B$ 且 $x \in C$，再次根据 3.1.23 得到 $x \in A$ 且 $x \in B$，现在我们又 $x \in A$、$x \in B$ 和 $x \in C$ 三个条件，应用两次定义 3.1.23 可以的到 $x \in A \cap (B \cap C)$；若 $x \in A \cap (B \cap C)$ 类似地根据定义 3.1.23 可以得到 $x \in A$、$x \in B$ 和 $x \in C$，同样可以得到 $x \in (A \cap B) \cap C$。综上，由定义 3.1.4 得到 $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$。

  • $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$，$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

    • $x \in A \cap (B \cup C) \stackrel{定义 3.1.23}{\longleftrightarrow} x \in A \land x \in B \cup C$
      $x \in B \cup C \stackrel{公理 3.4}{\longleftrightarrow} x \in B \lor x \in C$

      • $x \in A \land x \in B \stackrel{定义 3.1.23}{\longleftrightarrow} x \in A \cap B$
      • $x \in A \land x \in C \stackrel{定义 3.1.23}{\longleftrightarrow} x \in A \cap C$

      $x \in A \cap B \lor x \in A \cap C \stackrel{定义 公理 3.4}{\longleftrightarrow} x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$

    • $x \in A \cup (B \cap C) \stackrel{公理 3.4}{\longrightarrow} x \in A \lor x \in B \cap C$
      • $x \in A \stackrel{公理 3.4}{\longrightarrow} x \in A \cup B \land x \in A \cup C \stackrel{定义 3.1.23}{\longrightarrow} x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)$
      • $x \in B \cap C \stackrel{定义 3.1.23}{\longrightarrow} x \in B \land x \in C \stackrel{公理 3.4}{\longrightarrow} x \in (A \cup B) \land x \in (A \cup C)$
        $\stackrel{定义 3.1.23}{\longrightarrow} x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)$
    • $x \in (A \cup B) \cap (A \cup C) \stackrel{定义 3.1.23}{\longrightarrow} x \in A \cup B \land x \in A \cup C \stackrel{公理 3.4}{\longrightarrow} x \in A \lor (x \in B \land x \in C)$
      • $x \in A \stackrel{公理 3.4}{\longrightarrow} x \in A \cup (B \cap C)$
      • $x \in B \land x \in C \stackrel{定义 3.1.23}{\longrightarrow} x \in B \cap C \stackrel{公理 3.4}{\longrightarrow} x \in A \cup (B \cap C)$

  • $A \cup (X \backslash A) = X$，$A \cap (X \backslash A) = \varnothing$

    • $x \in A \cup (X \backslash A) \stackrel{公理 3.4}{\longrightarrow} x \in A \lor x \in X \backslash A$
      • $x \in A \stackrel{定义 3.1.15}{\longrightarrow} x \in X$
      • $x \in X \backslash A \stackrel{定义 3.1.27}{\longrightarrow} x \in X$
    • $A \subseteq X \stackrel{习题 3.1.5}{\longrightarrow} A \cup X = X$
      $x \in X, A \cup X = X \stackrel{定义 3.1.4}{\longrightarrow} x \in A \cup X \stackrel{公理 3.4}{\longrightarrow} x \in A \lor x \in X$
      • $x \in A \stackrel{公理 3.4}{\longrightarrow} A \cup (X \backslash A)$
      • $x \notin A, x \in X \stackrel{定义 3.1.27}{\longrightarrow} x \in X \backslash A \stackrel{公理 3.4}{\longrightarrow} A \cup (X \backslash A)$

    反证法，假设 $A \cup (X \backslash A) \neq \varnothing$，由引理 3.1.6，存在 $x \in A \cap (X \backslash A)$，进而由定义 3.1.23 可知，$x \in A$ 且 $x \in X \backslash A$，由定义 3.1.27 可知 $x \notin X$，矛盾，因此 $A \cup (X \backslash A) = \varnothing$。

  • $X \backslash (A \cup B) = (X \backslash A) \cap (X \backslash B)$，$X \backslash (A \cap B) = (X \backslash A) \cup (X \backslash B)$

    • $x \in X \backslash (A \cup B) \stackrel{定义 3.1.27}{\longleftrightarrow} x \in X \land x \notin A \cup B$
      $x \notin A \cup B \stackrel{公理 3.4}{\longleftrightarrow} x \notin A \land x \notin B$
      $x \in X \land x \notin A \stackrel{定义 3.1.27}{\longleftrightarrow} x \in X \backslash A$
      $x \in X \land x \notin B \stackrel{定义 3.1.27}{\longleftrightarrow} x \in X \backslash B$
      $x \in X \backslash A \land x \in X \backslash B \stackrel{定义 3.1.23}{\longleftrightarrow} x \in (X \backslash A) \cap (X \backslash B)$

    • $x \in X \backslash (A \cap B) \stackrel{定义 3.1.27}{\longleftrightarrow} x \in X \land x \notin A \cap B$
      $x \notin A \cap B \stackrel{定义 3.1.23}{\longleftrightarrow} x \notin A \lor x \notin B$

      • $x \in X \land x \notin A \stackrel{定义 3.1.27}{\longleftrightarrow} x \in (X \backslash A)$
      • $x \in X \land x \notin B \stackrel{定义 3.1.27}{\longleftrightarrow} x \in (X \backslash B)$

      $x \in (X \backslash A) \lor x \in (X \backslash B) \stackrel{公理 3.4}{\longleftrightarrow} x \in (X \backslash A) \cup (X \backslash B)$

3.1.7 设 $A,B,C$ 是集合。证明 $A \cap B \subseteq A$ 且 $A \cap B \subseteq B$，进而证明 $C \subseteq A$ 且 $C \subseteq B$ 当且仅当 $C \subseteq A \cap B$。用类似的精神证明 $A \subseteq A \cup B$ 且 $B \subseteq A \cup B$，进而证明 $A \subseteq C$ 且 $B \subseteq C$ 当且仅当 $A \cup B \subseteq C$。

  • 证明 $A \cap B \subseteq A$ 且 $A \cap B \subseteq B$。

    对于任意 $x \in A \cap B$，由定义 3.1.23，$x \in A$ 且 $x \in B$，由定义3.1.15，$A \cap B \subseteq A$ 且 $A \cap B \subseteq B$。

  • 证明 $C \subseteq A$ 且 $C \subseteq B$ 当且仅当 $C \subseteq A \cap B$。

    若 $C \subseteq A$ 且 $C \subseteq B$，对于任意 $x \in C$，由定义 3.1.15，$x \in A$ 且 $x \in B$，由定义 3.1.23，$x \in A \cap B$，再次由定义 3.1.15，$C \subseteq A \cap B$。

    若 $C \subseteq A \cap B$，由于 $A \cap B \subseteq A$，根据命题 3.1.18，$C \subseteq A$，同理可得 $C \subseteq B$。

  • 证明 $A \subseteq A \cup B$ 且 $B \subseteq A \cup B$。

    对于任意 $x \in A$，由公理 3.4，$x \in A \cup B$，再由定义 3.1.15 可得 $A \subseteq A \cup B$。根据刚才的证明可以知道 $B \subseteq B \cup A$，由练习 3.1.3 可知 $B \cup A = A \cup B$，由于子集概念遵循代入公理，所以 $B \subseteq A \cup B$。

  • 证明 $A \subseteq C$ 且 $B \subseteq C$ 当且仅当 $A \cup B \subseteq C$。

    若 $A \subseteq C$ 且 $B \subseteq C$。对于任意 $x \in A \cup B$，根据公理 3.4，$x \in A$ 和 $x \in B$ 至少有一个是真的，若 $x \in A$，由于 $A \subseteq C$，根据定义 3.1.15，$x \in C$，若 $x \in B$，由于 $B \subseteq C$，同样可以得到 $x \in C$，所以对于任意 $x \in A \cup B$ 都有 $x \in C$，根据定义 3.1.15 可知 $A \cup B \subseteq C$。

    若 $A \cup B \subseteq C$，由于 $A \subseteq A \cup B$，根据命题 3.1.18，$A \subseteq C$，同理，由于 $B \subseteq A \cup B$ 可得 $B \subseteq C$。

3.1.8 设 $A,B$ 是集合。证明下面两个吸收率：$A \cap (A \cup B) = A$，$A \cup (A \cap B) = A$。

由命题 3.1.28 (b) 款可以直接得到 $A \cap (A \cup B) = A$。

3.1.9 设 $A,B,X$ 是集合且 $A \cup B = X$，$A \cap B = \varnothing$。证明 $A = X \backslash B$ 且 $B = X \backslash A$。

可以用反证法证明，对于任意 $x \in A$，$x \notin B$。假设存在 $x \in B$，根据定义 3.1.23，存在 $x \in A \cap B$，这和 $A \cap B = \varnothing$ 矛盾。

对于任意 $x \in A$，由公理 3.4 和定义 3.1.4 可知 $x \in X$，又因为 $x \notin B$，由定义 3.1.27，$x \in X \backslash B$。对于任意 $x \in X \backslash B$，由定义 3.1.27，$x \in X$ 且 $x \notin B$。因为 $x \in X$，由公理 3.4 和定义 3.1.4 可知 $x \in A$ 和 $x \in B$ 至少由一个成立，因为 $x \notin B$，因此 $x \in A$ 必然成立。综上，由定义 3.1.4 得到 $A = X B$。

由于 $\cup$ 和 $\cap$ 都是可交换的，所以有 $B \cup A = X$，$B \cap A = \varnothing$，代入上面证明的结论可以得到 $B = X \backslash A$。

3.1.10 设 $A,B$ 是集合。证明三个集合 $A \backslash B$，$A \cap B$，$B \backslash A$ 是不交的，并且它们的并是 $A \cup B$。

  • 用反证法证明它们是不交的。

    假设 $(A \backslash B) \cap (A \cap B) \neq \varnothing$，根据定义 3.1.23 交集、定义 3.1.27 差集的定义和引理 3.1.6，存在 $x$ 使得 $x \in A \land x \notin B \land x \in B$ 为真，因为 $x \in B$ 和 $x \notin B$ 不可能同时成立，因此这样的 $x$ 不存在，矛盾。

    同理，假设 $(A \backslash B) \cap (B \backslash A) \neq \varnothing$，那么存在 $x$ 使得 $x \in A \land x \notin B \land x \in B \land x \notin B$ 为真，矛盾；假设 $(B \backslash A) \cap (A \cap B) \neq \varnothing$，那么存在 $x$ 使得 $x \in B \land x \notin A \land x \in A$ 为真，矛盾。

  • 证明 $(A \backslash B) \cup (A \cap B) \cup (B \backslash A) = A \cup B$。

    $x \in A \backslash B \stackrel{定义 3.1.27}{\longleftrightarrow} x \in A \land x \notin B$
    $x \in A \cap B \stackrel{定义 3.1.23}{\longleftrightarrow} x \in A \land x \in B$
    $x \in B \backslash A \stackrel{定义 3.1.27}{\longleftrightarrow} x \in B \land x \notin A$
    $(A \backslash B) \cup (A \cap B) \cup (B \backslash A) \stackrel{定义 3.1.23}{\longleftrightarrow} (x \in A \land x \notin B) \lor (x \in A \land x \in B) \lor (x \in B \land x \notin A)$
    $\stackrel{公理 3.4}{\longleftrightarrow} A \cup B$

3.1.11 证明替换公理蕴含分类公理。

可以通过证明下面这个命题证明替换公理蕴含分类公理。定义 $P(x,y)$ 为 $Q(y)$ 成立且 $x = y$，证明 $z \in \{y: P(x, y) \text{ 对于某 } x \in A \text{ 成立}\} \leftrightarrow z \in \{y \in A : Q(y) \text{ 成立} \}$。

若 $z \in \{y: P(x, y) \text{ 对于某 } x \in A \text{ 成立}\}$，$Q(z)$ 成立且存在 $x \in A$ 使得 $x = z$，由于 $\in$ 遵从代入公理，$z \in A$，因此 $z \in \{y \in A : Q(y) \text{ 成立} \}$。

若 $z \in \{y \in A : Q(y) \text{ 成立} \}$ 成立，那么 $z \in A$ 且 $Q(z)$ 成立，所以存在 $x = z \in A$ 使得 $P(x, z)$ 成立，因此 $z \in \{y: P(x, y) \text{ 对于某 } x \in A \text{ 成立}\}$。