6.6.1 证明引理 6.6.4。
设
(an)n=0∞,
(bn)n=0∞,
(cn)n=0∞ 是实数列。那么
(an)n=0∞ 是
(an)n=0∞ 的子序列。进而,如果
(bn)n=0∞ 是
(an)n=0∞ 的子序列,而
(cn)n=0∞ 是
(bn)n=0∞ 的子序列,那么
(cn)n=0∞ 是
(an)n=0∞ 的子序列。
存在函数 f(n)=n,由自然数序的定义可知 f(n+1)=n+1>n=f(n),所以 f(n) 是严格增的函数,f(n) 使得对一切 n∈N 有 an=af(n),因此 (an)n=0∞ 是 (an)n=0∞ 的子序列。
如果 (bn)n=0∞ 是 (an)n=0∞ 的子序列,那么存在一个严格增的函数 f(x) 使得对一切 n∈N 有 bn=af(n);如果 (cn)n=0∞ 是 (bn)n=0∞ 的子序列,那么存在一个严格增的函数 g(x) 使得对一切 n∈N 有 cn=bf(n);所以存在函数 h(x)=f(g(n)) 使得对一切 n∈N 有 cn=ah(n)=af(g(n))。
g(x) 是严格增的函数,对一切 n∈N,g(n+1)>g(n);由于 f(x) 也是严格增的函数,且 g(n+1)>g(n),所以 f(g(n+1))>f(g(n)),因此 h(n+1)>h(x),即 h(x) 也是严格增的函数,所以 (cn)n=0∞ 是 (an)n=0∞ 的子序列。
6.6.2 你能找到两个不同的序列 (an)n=0∞ 和 (bn)n=0∞ 使他们的每一个是另一个的子序列吗?
可以。设 an=(−1)n,bn=(−1)n+1。
对于任意 n≥0
an−bn=(−1)n−(−1)n+1=2×(−1)n=0 即 an=bn,所以两个序列不相同。
存在 f(n)=n+1 是严格增函数使得
bf(n)=(−1)(n+1)+1=(−1)n+2=(−1)n×(−1)2=(−1)n+1=anaf(n)=(−1)n+1=bn 所以 an 是 bn 的子序列,bn 也是 an 的子序列。
6.6.3 设 (an)n=0∞ 是一个序列,它不是有界的。证明它有一个子序列 (bn)n=0∞ 使得 n→∞limbn1 存在并等于零。
对于每个自然数 j,定义号码 nj:=min{n∈N:∣an∣≥j;n>nj−1},当 j=0 忽略 n>nj−1。下面证明 {n∈N:∣an∣≥j;n>nj−1} 不是空集,再证明非空的整数集合有最小值,保证定义是成功的。
证明 {n∈N:∣an∣≥j;n>nj−1} 不是空集。
对 j 进行归纳。
当 j=0,忽略 n>nj−1 部分,由于 (an)n=0∞ 不是有界的,根据定义,给定任意一个实数 M 都存在 n>0 使得 ∣an∣>M,因此必然存在 ∣an∣>j,从而集合不是空集。
假定命题对 j 成立,用反证法证明对 j+1 也成立。
假定 {n∈N:∣an∣≥j+1;n>nj} 是空集,由于 j+1=0,n>nj 不可忽略。
由于 (an)n=0∞ 不是有界的,必然存在 ∣an∣≥j+1,又因集合为空,可以推出对于任意 n>nj 有 ∣an∣<j。因此序列 (an)n=nj∞ 以 j 为界。
若 nj=0,则 (an)n=0∞ 有界,矛盾。若 nj>0,序列 a0,a1,⋯anj−1 是有限序列因而有界,假设以 M 为界,序列 (an)n=0∞ 可以 j+M 为界,矛盾。因此若命题对 j 成立,则命题对 j+1 也成立。这就完成了归纳。
证明非空的整数集合有最小值。
设集合 E⊆N 不是空集,所以任何属于 E 的元素都大于或等于零,因而集合 E 有下界 0,由定理 5.5.9可得 E 有最大下界 M,可以证明 M 是自然数,进而证明 M∈E 证明 M 是 E 的最小值。
由于 M 是实数,根据习题 5.4.3的结论,存在整数 N 使得 N≤M≤N+1,可以证明存在 x∈E 使得 M≤x<N+1(证明过程和命题 6.3.6一样),进而有 N≤x<N+1。
反证法证明 N=x。假设 N<x,根据引理 4.1.11序的性质,x=N+d,其中 d 是正自然数,用数学归纳法易证 d≥1 因此 x≥N+1,矛盾。因此 N=x。
反证法证明 M=N。假设 N<M,由于 N=x 得 M>x,矛盾。所以 M=n,即集合 E 的最大下界是整数。由于 0 是集合的下界,所以 0≤M,因此 M 是自然数。
接着证明 M∈E。由于 M<M+1,可知存在 x∈E 使得 M≥x<M+1,同上面的证明,可证 M = x,所以 M∈E。
因为 M 是 E 的最大下界,所以 E 的元素都小于或等于 M,又因为 M 是 E 的元素,所以是 E 的最小值。因此非空的整数集合有最小值。
令 bj:=anj
根据定义可知 nj+1:=min{n∈N:∣an∣≥j+1;n>nj},即 nj+1>nj,所以 nj 是严格增的,由子序列定义可知序列 (bj)j=0∞ 是 (an)n=0∞ 的子序列。
根据定义对于每个 ∣bj∣=∣anj∣≥j,根据命题 5.4.8有 ∣bj∣1≤j1,展开绝对值得到 −j1≤bj1≤j1。由命题 6.1.11 已经知道 j→∞limj1=0,由极限算率可得 j→∞lim−j1=0,再由挤压判别法可得 j→∞limbj1=0。
6.6.4 证明命题 6.6.5。
设
(an)n=0∞ 是实数列,并设
L 是实数。那么下述两个命题的在逻辑上是等价的:
- 序列 (an)n=0∞ 收敛到 L。
- (an)n=0∞ 的每个子序列都收敛到 L。
先证明一个引理:对于任意一个严格增的函数 f:N→N,f(n)≥n。
归纳 n。当 n=0,由于 f(n)∈N,f(0)≥0;假设 f(n)≥n,由于函数是严格增的,所以 f(n+1)>f(n)≥n,即 f(n+1)>n,由命题 2.2.12 (e) 款可得 f(n+1)≥n。归纳完成。
若序列 (an)n=0∞ 收敛到 L。
设 (bj)j=0∞ 是 (an)n=0∞ 的子序列,存在一个严格增的函数 f:N→N,使得 bj=af(n)。
根据极限的定义,对于任意 ϵ>0 存在 Nϵ≥0 使得每个 n≥Nϵ 都有 ∣an−L∣≤ϵ。根据上面证明的引论,对于每个 Nϵ 都存在 J=f(Nϵ)≥Nϵ,所以对于任意 ϵ>0,存在 J=f(Nϵ)>0,对于每个 j≥J 都有 f(j)≥f(J)≥J≥Nϵ,所以 ∣bj−L∣=∣af(j)−L∣≤ϵ,因此 (bj)j=0∞ 也收敛到 L。
由于 (bj)j=0∞ 是任意的,所以 (an)n=0∞ 的每个子序列都收敛到 L。
(an)n=0∞ 的每个子序列都收敛到 L。
根据引理 6.6.4,(an)n=0∞ 是 (an)n=0∞ 的子序列,所以 (an)n=0∞ 也收敛到 L。
6.6.4 证明命题 6.6.6。
设
(an)n=0∞ 是实数列,并设
L 是实数。那么下述两个命题的在逻辑上是等价的:
- L 是序列 (an)n=0∞ 的极限点。
- 存在 (an)n=0∞ 的子序列收敛到 L。
为了证明 (a) 蕴含 (b),对每个自然数 j 定义 nj:=min{n>nj−1:∣an−L∣≤j1},其中 n0:=0。需要证明集合 {n>nj−1:∣an−L∣≤j1} 非空,结合习题 6.6.3的引论,保证定义是成功的。
证明集合 {n>nj−1:∣an−L∣≤j1} 非空。
由于 L 是 序列 (an)n=0∞ 的极限点,根据定义,对于任意 ϵ>0 每个 N>0 都存在 n≥N 使得 ∣(an)−L∣≤ϵ。对于 ϵ=j1>0,每个 N≥nj−1+1 都存在 n≥N 使得 ∣(an)−L∣≤j1,根据命题 2.2.12 (e) 款,N>nj−1,所以每个 n≥N 也都满足 n>nj−1,所以集合是非空的。
证明 (a) 蕴含 (b)。
令 bj:=anj。由定义 nj+1={n>nj:∣an−L∣≤j+11} 可知 nj 是递增的,所以 (bj)j=0∞ 是 (an)n=0 的子序列。
根据习题 5.4.4,对于任意 ϵ>0,存在正整数 J 使得 0<J1<ϵ。由于 ∣bJ−L∣=∣anJ−L∣≤J1,∣bJ−L∣<ϵ,对于任意 j≥J,有 j1≤J1,因此 ∣bj−L∣=∣anj−L∣≤j1≤J1<ϵ。所以 bj:=anj 收敛到 L。
证明 (b) 蕴含 (a)。
设 (bn)n=0∞ 是 (an)n=0∞ 的子序列,bn=af(n)。
由于 (bn)n=0∞,根据定义,对于任意 ϵ>0 存在 Nϵ≥0 使得任意 n≥Nϵ 都有 ∣bn−L∣=∣af(n)−L∣=≤ϵ。
对于任意 N≥0
- 若 N≥Nϵ,可取 n=f(N),根据习题 6.6.4中的引理 n=f(N)≥N,根据上述极限的定义,∣an−L∣=∣af(N)−L∣≤ϵ。
- 若 N<Nϵ,取 n=f(Nϵ),根据习题 6.6.4中的引理 f(Nϵ)≥Nϵ,所以 n>N,所以 ∣an−L∣=∣af(Nϵ)−L∣≤ϵ。
综合得到 L 是序列 (an)n=0∞ 的极限点。